摘 要


本文分析了如何挖掘数学题中隐含条件的途径和方法以及挖掘隐含条件的作用．解题教学是高中数学教学内容的一个重要部分．解题过程是学生数学学习效果的综合体现，学生解题能力的高低也能从一定程度上反映出学生的数学修养．只要是学习数学课程，就必须学习解数学题，解题教学也就必然存在．高中数学解题中学生容易忽视隐含条件.学生在解题过程中,应认真审题,准确运用题目中的已知条件,全面深入挖掘其中的隐含条件,从而来提高解题能力．因此，在数学教学过程中要注重提高学生的解题能力，加强对解题方法的教学．

关键词：高中数学；挖掘；隐含条件；提高；解题能力














目录


摘要 ……………………………………………………………………………　　　　　
Abstract ……………………………………………………………………………
1 绪论
2 怎样挖掘数学题中的隐含条件？
2.1 回归定义 ………………………………………………………
2.2 细查结构 ………………………………………………………
2.3 结合已知 ………………………………………………………
2.4 借助直观 ………………………………………………………
2.5 转换表述 ………………………………………………………
2.6巧妙赋值 ………………………………………………………
2.7有效增补 …………………………………………………………
3 挖掘隐含条件在解题中的作用.
3.1 简化作用 ………………………………………………………… 3.2 限定作用 …………………………………………………………
3.3 判别作用 …………………………………………………………
4.总结 ………………………………………………………………………
参考文献 ……………………………………………………………………
致谢………………………………………………………………………


1 绪 论

本文研究的背景
2001年中共中央颁发了《国务院关于基础教育改革与发展的决定》,其中对课程实施方面进行了一系列的改革.倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力，把传授知识与发展能力提高到了一个更高的要求．
那么什么是能力呢？我们在学习中应该怎样提高能力呢？能力是人顺利地完成某种活动所必需具备的心理特征．能力有两种含义：既可解释为实际能力也可解释为潜在能力．实际能力是指个人现在实际所能做的，这种能力以知识技能来表现，而知识技能主要是学习的成就或训练的结果．所以实际能力也称为成就,潜在能力不是指个人已经发展出来的实际能力，而是指如果通过训练可能达到的水平，一个学生解一道数学题，在解题的过程中，所应用的公理、定义、公式等属于知识，而在解题过程中思维活动的严密性和灵活性则属于能力．可见，能力和知识是密切联系的，不能分割的，要提高学生的解题能力，应注重从知识和能力两方面入手．     首先，注重知识的学习．众所周知，数学中的定义、法则、定律、公式、性质、公理、定理等都是数学命题，数学命题是数学知识的主体，它与概念、推理、证明有着密切的联系，学生只有系统地掌握数学命题，才能不断提高数学基本能力，顺利解答有关数学问题．数学命题的教学基本任务是使学生认识命题的条件和结论，掌握命题推理过程或证明过程或证明方法，运用所学的命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答实际问题，并在此基础上，使学生熟悉基本的数学思想和数学方法，弄清数学命题间的联系，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系．
其次，注重学生解题能力的培养。例题的学习是学生学会数学概念、数学命题及其初步应用。通过例题的学习，理解和巩固数学基础知识，形成了数学基本技能；所学的理论与实践结合起来，掌握理论的用途和用法；学会解题的书写格式和表述方法，提高分析和解决问题的能力。不管是引入新知识的、实际的或具体的事例，都是加深理解，巩固有关概念和命题，熟悉其用途和用法而设立的例题，在讲解中，加深对条件的分析，因为，题目的条件有明有暗，明者就是在题目里明文给定的，暗者是隐含在图形或数式的性质之中的，明者容易用上，暗者不易被发现，要把隐含的条件挖掘出来，不管有用或无用的，有多少就全部挖出来，这样才能给我们解题带来广阔的思路，较快地解决问题。
下面我就来谈一下我们应该怎样挖掘题中的隐含条件．

２　怎样挖掘题中的隐含条件

解题教学是高中数学教学内容的一个重要部分．解题过程是学生数学学习效果的综合体现，学生解题能力的高低也能从一定程度上反映出学生的数学修养．只要是学习数学课程，就必须学习解数学题，解题教学也就必然存在．在解题教学中，审题是重中之重的事情．俗话说“磨刀不误砍柴工”，认真细致地审清题意、理清思路，可以使解题过程简洁、解答全面．同时这也是一种良好的思维习惯，有助于学生思维能力的全面发展．

解题实质上是通过一定的逻辑思维,利用数学思想和数学方法等进行推理来解决问题的过程.在解题过程中,只要我们抓住了问题的实质，挖掘出题中的隐含条件，就能为解题打开切入点和突破口．那么我们应该从哪几个方面进行挖掘呢?
1.1 回归定义
数学的定义是推导公式、定理的依据，也是解题常用的一把钥匙，它能为解题挖掘出最本质的条件，使解题简捷明快．
例1 解方程
思路：用通常的办法，需要两次平方才能将原方程化为有理方程．注意到原方程就是　
联想到解析几何中椭圆的定义，令有
这是以点为焦点，长轴之长为10的椭圆方程,即（隐含条件）
从而当时,就有.
1.2 细查结构
发掘隐含条件往往需要运用感知，敏锐地观察，大胆运用直觉思维，迅速作出判断，从隐蔽的数学关系中找到问题的实质．而仔细观察，抓住结构特征，往往能有效地挖掘隐含条件．
例2 已知二次方程有相等的实数根，
求证：
分析：常规方法是由判别式，经过因式分解得到，但跨越这一步是比较繁难的．若转向观察题设方程的特点入手，迅速发掘出该方程系数为0条件，则立刻可知该方程的相等实数根为1，于是由韦达定理得问题简捷获证．
1.3 结合已知
当单独、孤立地审视已知条件已经达到“山重水腹疑无路”时，将几个已知条件联系起来审视，就可以出现“柳暗花明又一村”的新境界，从而挖掘出隐含条件．
例3 在锐角三角形中，成等差数列，若，试求函数的表达式．
分析：一方面由第一个已知条件得出，另一方面由诱导公式得出以上二方面结合得出
隐含条件
这样第二个已知条件转化为用变量替换法求函数的表达式，令
1.4 借助直观
有些数学题所给的条件往往不能直接为解题服务，而能够直接为解题服务的一些有效因素却隐蔽在题目所蕴含的图形的几何性质中，此时，若能以数思形，借助图形直观分析，就可以迅速获得隐含条件，使问题形象、简明地解决．
例4 点是已知圆D：内的一个定点，弦BC与点A组成一个直角三角形．求弦BC中点P的轨迹方程．
解：设弦BC中点，因为，所以；又因为则有，化简得
这里，画出草图就可揭露出条件，把联系起来问题就迎刃而解．
1.5 转换表述
数学语言的抽象表述常会给我们理解题意带来困难．为此，在解题中，要善于追溯问题的实际背景，注意转换数学语言，尽量使题目表述通俗化，使隐含条件明朗化．
例5 记函数的定义域为D，若存在使成立，则称为坐标的点是函数图象上的“不动点”，若函数的图象上有且仅有两个相异的“不动点”．试求实数的取值范围．
分析：本题是一类新概念题，但是其语言表述却是我们所不熟悉的，为了解决这个问题，我们可设两个不动点的坐标为，于是有“不动点”就被我们用这样的语言去表述：从而也就挖掘出隐含条件是一元二次方程的两个不等于的相异实根，于是很容易就得到解题的方法：，
解得：
1.6 巧妙赋值
通过对题目中的字母的恰当赋值，往往能获得对该问题具有启发意义的隐含条件
例6 下面的表甲是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变．改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母（即A变成B，B变成C…，最后Z变成A）．问能否经过若干次操作使表甲变为表乙？如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由．
S　O　 B　 R　　　　　　　　　K　B　D S
T　Z　 F　 P　　　　　　　　　H　E　 X　 G
H　O　C N　　　　　　　　　R　T　 B　 S
A　D　V　 X　　　　　　　　　C　F　 Y　 A
表甲　　　　　　　　　　　　　　表乙
分析：本题直接入手，有一定难度．我们将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1，B用2，…，Z用26代替）．这样表甲和表乙变分别变成了表丙和表丁．
19　 15　　2　 18　　　　　 11　　 2　　 3　 19
20　 26　　6　 16　　　　　　8　　 5　 24　　7
8　 15　　3　　4　　　　　 18　 20　　 2　 19
1　　4　 22　 24　　　　　 3　　 6　 25　　1
　　　　　　表丙　　　　　　　　　　　　　　表丁
这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换：1→2，2→3，…，25→26，26→1．这样我们就挖掘出隐含条件：每次操作不改变这16个数字的和的奇偶性．但表丙这16个数字的和为213，表丁的16个数字的和为184，它们的奇偶性不同．故表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙．
1.7 有效增补
有些立体几何题给出的问题背景很简略，难以察觉题中的线面关系或数量关系．但是，将所给的图形进行适当的增补，使之变成一个更特殊、更完整的几何体，那么题中所隐含的一些线面关系和数量关系就会显露出来，问题也就迎刃而解了．
例7 如图，是直三棱柱，过点的平面与平面的交线记作，（1）判断直线和的位置关系，并加以证明；（2）若求顶点到直线的距离．
简析略解：此题中平面与平面的交线的位置不很明朗，难以看到问题的本质．而将所给的直三棱柱补成直平行六面体则即可显露出隐含关系：交线就是，于是易知直线和平行（证明略），再根据三垂线定理及勾股定理易求得到直线的距离是（解答略）．
由上可知，善于挖掘题目中的隐含条件，可以迅速揭开问题的实质，简缩思维过程，优化解题思路．因此在教学中教师除了要求生具备扎实过硬的基础知识和基本技能外，还要帮助学生掌握严谨的思维方法，养成良好的审题习惯．
数学习题中的隐含条件往往是解题的关键和突破口，如果学生能深入并充分利用题中的隐含条件，解题时就不会感到无从下手．

3 挖掘隐含条件在解题中的作用

在学习数学的过程中，要接触到大量的基本概念、定理、公式及法则．概念是数学内容的基石，定理、公式、法则均由它导出，正确地理解和运用数学基本概念十分重要，对基本概念一知半解、概念不清是许多错误产生的根源．我们不能简单地记忆既定概念的条件和结论，而要重视概念推出的原理．不但如此，对概念中所包含的不为人重视的隐含条件更要注意，这样才能使我们抓住问题的关键，迅速而巧妙地解决问题，以避免一些不必要的错误．所谓隐含条件，是指题目中若明若暗、隐而不显、含而不漏的已知条件．例如：偶函数的定义为：“设函数f(x)在D上有定义，若对任意的 x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为定义在D上的偶函数．”其中，除了条件f(-x)=f(x)外，还有一个隐含条件：“如x∈D则-x∈D”，也就是说定义域D应该是关于原点对称的区间．注意到这一条件，就不会产生当x∈［一2，3］时，函数f(x)=x2是偶函数的错误判断．下面就对隐含条件在解题过程中所起的作用作一些简单的探讨。
2.1 简化作用这是隐含条件的一个基本作用，一个问题看似复杂、不好解
不妨仔细观察所包含的隐含条件，往往能快捷地解决问题．例1 解方程组｜x2-7｜+｜y－2｜=3 ① ｜x2-7｜=2y-4 ② 分析：由方程②可知，其中隐含有条件2y-4≥0 解：原方程组可简化为

｜x2-7｜+y-2=3
｜x2-7｜=2y-4
由此解得x=3,y=3
或x=-3,y=3

例2：当m变化时，求两直线l1∶mx-y+5m=0，l2∶x+my-5=0交点Ｐ的轨迹方程.　
解法１：设Ｐ（x，y），联立方程
　　解得

由①２＋②２即可消去m，得x2+y2=25.　解法２：注意隐含条件：l1⊥l2，且l1恒过一定点Ａ（－５，０），l2恒过一定点B（5，0），则即得x2+y2=25.　　显然，解法2更简洁.2.2 限定作用 数学题有许多隐含条件对结论有着限定作用，条件之间相互联系、相互制约，在解题时要注意挖掘题设条件对问题所涉及的数、式或图形的限定，常能使问题更完美解决． 例3 已知方程Z2-mz+n=0的根z分别为sinα和cosα，求动点（m，n）的轨迹． 解：由题知sinα+cosα= m sinα.cosα=n消去参数α,得n=12m2-12，这是抛物线轨迹．但要注意｜sinα｜≤1这一隐含条件，由此隐含条件可限定变量m与n的范围，由此隐含条件得 m=sinα+cosα=2sin(π4+α) ∴-2≤m≤2 又n=sinα.cosα=12sin2α ∴-12≤n≤12说明n=12m2-12代表的动点轨迹只能是点-2,12及2,12间的一段抛物线．2.3 判别作用 在解题时，深入思考，分析隐含条件能及时发现解题过程中出现的错误，提高解题的准确性． 例4 例3： 2已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）满足下列三个条件：　　①f（x）的图象在y轴上的截距为0；　　②f（x-3）=f（5-x）；　　③方程f（x）=x有等根.　 （1）求f（x）的解析式；　 （2）是否存在实数m，n（m<n），使f（x）的定义域和值域分别为［m，n］和［３m，３n］，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 解：（１）由①得c=0，由②得f（－３）＝f（５），即2a+b=0，由f（x）＝x，即ax2+（b-1）x=0有等根，得Δ＝（b-1）2=0，b=1，　 　　（２）解法１：抛物线的对称轴方程为x=1，故分三类情况讨论：①当n≤1时，②m≤1<n时，③当m>1时.此解法运算量较大，且易出错（过程略）.　　解法２：隐含条件　　又f（x）的对称轴方程为x=1，所以时，f（x）在［m，n］上为增函数.　　假设存在符合条件的m，n，则或m=-4，n=0或n=-4.　　又所以m=-4，n=0为所求值，即存在m=-4，n=0使f（x）的定义域为［－４，０］，值域为［－１２，０］.实际上，得出的结论是错误的，这就是由于忽略了隐含条件：直线与抛物线无交点而导致错误．结论应该是这样的：直线L不存在．正确的解题过程应为解：若直线L存在，设M1、M2分别为（x1,y1),(x2,y2)则有　　x1+x22=1 ①　　y1+y22=1 ②　　x12-12y12=1 ③　　x22-12y12=1 ④③-④得：（x1+x2）（x1-x2）＝12(y1+y2)(y1-y2) ⑤将①、②代入⑤得y2-y1x2-x1=2,即直线L的斜率为K=2∴直线方程为：y＝2x-1由 x12-12y12=1 y=2x-1解得2x2-4x+3=0,由判别式△=b2-4ac=-8＜0,知L与双曲线没有交点． 从上述讨论可以看出，在学习数学的过程中应细心体会，充分挖掘并利用隐含条件,能够拓展思维空间,收到事半功倍的效果．

4 总结

总之，善于挖掘题目中的隐含条件，可以迅速揭开问题的实质，简缩思维过
程，优化解题思路．因此在教学中教师除了要求生具备扎实过硬的基础知识和基本技能外，还要帮助学生掌握严谨的思维方法，养成良好的审题习惯，不断提高数学解题能力．培养学生的解题能力，对发展学生的辩证唯物主义数学观，有重要的教育意义．在解题教学中，教师要引导学生在实践中演练，感知，体会解题的思想方法，逐步形成一系列行之有效的解题策略．因此，在数学教学过程当中,教师要从根本上提高学生的数学解题能力，必须在注重基础知识教学的同时，强化对学生思维方法的训练，以其“授之以鱼”，不如“授之以渔”．在数学教学中只有把培养、发展学生的思维能力放在重要地位，才能真正提高学生分析和解决实际问题的能力，才能使教学达到事半功倍的效果．